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Algèbre linéaire Exemples
Étape 1
Définissez le dénominateur dans égal à pour déterminer où l’expression est indéfinie.
Étape 2
Étape 2.1
Factorisez le côté gauche de l’équation.
Étape 2.1.1
Factorisez en utilisant le test des racines rationnelles.
Étape 2.1.1.1
Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme où est un facteur de la constante et est un facteur du coefficient directeur.
Étape 2.1.1.2
Déterminez chaque combinaison de . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.
Étape 2.1.1.3
Remplacez et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à donc est une racine du polynôme.
Étape 2.1.1.3.1
Remplacez dans le polynôme.
Étape 2.1.1.3.2
Élevez à la puissance .
Étape 2.1.1.3.3
Multipliez par .
Étape 2.1.1.3.4
Élevez à la puissance .
Étape 2.1.1.3.5
Multipliez par .
Étape 2.1.1.3.6
Soustrayez de .
Étape 2.1.1.3.7
Élevez à la puissance .
Étape 2.1.1.3.8
Multipliez par .
Étape 2.1.1.3.9
Additionnez et .
Étape 2.1.1.3.10
Multipliez par .
Étape 2.1.1.3.11
Soustrayez de .
Étape 2.1.1.3.12
Additionnez et .
Étape 2.1.1.4
Comme est une racine connue, divisez le polynôme par pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.
Étape 2.1.1.5
Divisez par .
Étape 2.1.1.5.1
Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de .
- | - | + | - | + |
Étape 2.1.1.5.2
Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende par le terme du plus haut degré dans le diviseur .
- | - | + | - | + |
Étape 2.1.1.5.3
Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.
- | - | + | - | + | |||||||||
+ | - |
Étape 2.1.1.5.4
L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans
- | - | + | - | + | |||||||||
- | + |
Étape 2.1.1.5.5
Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.
- | - | + | - | + | |||||||||
- | + | ||||||||||||
- |
Étape 2.1.1.5.6
Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.
- | - | + | - | + | |||||||||
- | + | ||||||||||||
- | + |
Étape 2.1.1.5.7
Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende par le terme du plus haut degré dans le diviseur .
- | |||||||||||||
- | - | + | - | + | |||||||||
- | + | ||||||||||||
- | + |
Étape 2.1.1.5.8
Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.
- | |||||||||||||
- | - | + | - | + | |||||||||
- | + | ||||||||||||
- | + | ||||||||||||
- | + |
Étape 2.1.1.5.9
L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans
- | |||||||||||||
- | - | + | - | + | |||||||||
- | + | ||||||||||||
- | + | ||||||||||||
+ | - |
Étape 2.1.1.5.10
Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.
- | |||||||||||||
- | - | + | - | + | |||||||||
- | + | ||||||||||||
- | + | ||||||||||||
+ | - | ||||||||||||
+ |
Étape 2.1.1.5.11
Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.
- | |||||||||||||
- | - | + | - | + | |||||||||
- | + | ||||||||||||
- | + | ||||||||||||
+ | - | ||||||||||||
+ | - |
Étape 2.1.1.5.12
Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende par le terme du plus haut degré dans le diviseur .
- | + | ||||||||||||
- | - | + | - | + | |||||||||
- | + | ||||||||||||
- | + | ||||||||||||
+ | - | ||||||||||||
+ | - |
Étape 2.1.1.5.13
Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.
- | + | ||||||||||||
- | - | + | - | + | |||||||||
- | + | ||||||||||||
- | + | ||||||||||||
+ | - | ||||||||||||
+ | - | ||||||||||||
+ | - |
Étape 2.1.1.5.14
L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans
- | + | ||||||||||||
- | - | + | - | + | |||||||||
- | + | ||||||||||||
- | + | ||||||||||||
+ | - | ||||||||||||
+ | - | ||||||||||||
- | + |
Étape 2.1.1.5.15
Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.
- | + | ||||||||||||
- | - | + | - | + | |||||||||
- | + | ||||||||||||
- | + | ||||||||||||
+ | - | ||||||||||||
+ | - | ||||||||||||
- | + | ||||||||||||
- |
Étape 2.1.1.5.16
Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.
- | + | ||||||||||||
- | - | + | - | + | |||||||||
- | + | ||||||||||||
- | + | ||||||||||||
+ | - | ||||||||||||
+ | - | ||||||||||||
- | + | ||||||||||||
- | + |
Étape 2.1.1.5.17
Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende par le terme du plus haut degré dans le diviseur .
- | + | - | |||||||||||
- | - | + | - | + | |||||||||
- | + | ||||||||||||
- | + | ||||||||||||
+ | - | ||||||||||||
+ | - | ||||||||||||
- | + | ||||||||||||
- | + |
Étape 2.1.1.5.18
Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.
- | + | - | |||||||||||
- | - | + | - | + | |||||||||
- | + | ||||||||||||
- | + | ||||||||||||
+ | - | ||||||||||||
+ | - | ||||||||||||
- | + | ||||||||||||
- | + | ||||||||||||
- | + |
Étape 2.1.1.5.19
L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans
- | + | - | |||||||||||
- | - | + | - | + | |||||||||
- | + | ||||||||||||
- | + | ||||||||||||
+ | - | ||||||||||||
+ | - | ||||||||||||
- | + | ||||||||||||
- | + | ||||||||||||
+ | - |
Étape 2.1.1.5.20
Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.
- | + | - | |||||||||||
- | - | + | - | + | |||||||||
- | + | ||||||||||||
- | + | ||||||||||||
+ | - | ||||||||||||
+ | - | ||||||||||||
- | + | ||||||||||||
- | + | ||||||||||||
+ | - | ||||||||||||
Étape 2.1.1.5.21
Comme le reste est , la réponse finale est le quotient.
Étape 2.1.1.6
Écrivez comme un ensemble de facteurs.
Étape 2.1.2
Factorisez en utilisant le test des racines rationnelles.
Étape 2.1.2.1
Factorisez en utilisant le test des racines rationnelles.
Étape 2.1.2.1.1
Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme où est un facteur de la constante et est un facteur du coefficient directeur.
Étape 2.1.2.1.2
Déterminez chaque combinaison de . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.
Étape 2.1.2.1.3
Remplacez et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à donc est une racine du polynôme.
Étape 2.1.2.1.3.1
Remplacez dans le polynôme.
Étape 2.1.2.1.3.2
Élevez à la puissance .
Étape 2.1.2.1.3.3
Multipliez par .
Étape 2.1.2.1.3.4
Élevez à la puissance .
Étape 2.1.2.1.3.5
Multipliez par .
Étape 2.1.2.1.3.6
Soustrayez de .
Étape 2.1.2.1.3.7
Multipliez par .
Étape 2.1.2.1.3.8
Additionnez et .
Étape 2.1.2.1.3.9
Soustrayez de .
Étape 2.1.2.1.4
Comme est une racine connue, divisez le polynôme par pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.
Étape 2.1.2.1.5
Divisez par .
Étape 2.1.2.1.5.1
Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de .
- | - | + | - |
Étape 2.1.2.1.5.2
Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende par le terme du plus haut degré dans le diviseur .
- | - | + | - |
Étape 2.1.2.1.5.3
Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.
- | - | + | - | ||||||||
+ | - |
Étape 2.1.2.1.5.4
L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans
- | - | + | - | ||||||||
- | + |
Étape 2.1.2.1.5.5
Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.
- | - | + | - | ||||||||
- | + | ||||||||||
+ |
Étape 2.1.2.1.5.6
Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.
- | - | + | - | ||||||||
- | + | ||||||||||
+ | + |
Étape 2.1.2.1.5.7
Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende par le terme du plus haut degré dans le diviseur .
+ | |||||||||||
- | - | + | - | ||||||||
- | + | ||||||||||
+ | + |
Étape 2.1.2.1.5.8
Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.
+ | |||||||||||
- | - | + | - | ||||||||
- | + | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
+ | - |
Étape 2.1.2.1.5.9
L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans
+ | |||||||||||
- | - | + | - | ||||||||
- | + | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
- | + |
Étape 2.1.2.1.5.10
Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.
+ | |||||||||||
- | - | + | - | ||||||||
- | + | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
- | + | ||||||||||
+ |
Étape 2.1.2.1.5.11
Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.
+ | |||||||||||
- | - | + | - | ||||||||
- | + | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
- | + | ||||||||||
+ | - |
Étape 2.1.2.1.5.12
Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende par le terme du plus haut degré dans le diviseur .
+ | + | ||||||||||
- | - | + | - | ||||||||
- | + | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
- | + | ||||||||||
+ | - |
Étape 2.1.2.1.5.13
Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.
+ | + | ||||||||||
- | - | + | - | ||||||||
- | + | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
- | + | ||||||||||
+ | - | ||||||||||
+ | - |
Étape 2.1.2.1.5.14
L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans
+ | + | ||||||||||
- | - | + | - | ||||||||
- | + | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
- | + | ||||||||||
+ | - | ||||||||||
- | + |
Étape 2.1.2.1.5.15
Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.
+ | + | ||||||||||
- | - | + | - | ||||||||
- | + | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
- | + | ||||||||||
+ | - | ||||||||||
- | + | ||||||||||
Étape 2.1.2.1.5.16
Comme le reste est , la réponse finale est le quotient.
Étape 2.1.2.1.6
Écrivez comme un ensemble de facteurs.
Étape 2.1.2.2
Supprimez les parenthèses inutiles.
Étape 2.2
Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à , l’expression entière sera égale à .
Étape 2.3
Définissez égal à et résolvez .
Étape 2.3.1
Définissez égal à .
Étape 2.3.2
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 2.4
Définissez égal à et résolvez .
Étape 2.4.1
Définissez égal à .
Étape 2.4.2
Résolvez pour .
Étape 2.4.2.1
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 2.4.2.2
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Étape 2.4.2.2.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 2.4.2.2.2
Simplifiez le côté gauche.
Étape 2.4.2.2.2.1
Annulez le facteur commun de .
Étape 2.4.2.2.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 2.4.2.2.2.1.2
Divisez par .
Étape 2.5
Définissez égal à et résolvez .
Étape 2.5.1
Définissez égal à .
Étape 2.5.2
Résolvez pour .
Étape 2.5.2.1
Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.
Étape 2.5.2.2
Remplacez les valeurs , et dans la formule quadratique et résolvez pour .
Étape 2.5.2.3
Simplifiez
Étape 2.5.2.3.1
Simplifiez le numérateur.
Étape 2.5.2.3.1.1
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 2.5.2.3.1.2
Multipliez .
Étape 2.5.2.3.1.2.1
Multipliez par .
Étape 2.5.2.3.1.2.2
Multipliez par .
Étape 2.5.2.3.1.3
Soustrayez de .
Étape 2.5.2.3.1.4
Réécrivez comme .
Étape 2.5.2.3.1.5
Réécrivez comme .
Étape 2.5.2.3.1.6
Réécrivez comme .
Étape 2.5.2.3.2
Multipliez par .
Étape 2.5.2.4
Simplifiez l’expression pour résoudre la partie du .
Étape 2.5.2.4.1
Simplifiez le numérateur.
Étape 2.5.2.4.1.1
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 2.5.2.4.1.2
Multipliez .
Étape 2.5.2.4.1.2.1
Multipliez par .
Étape 2.5.2.4.1.2.2
Multipliez par .
Étape 2.5.2.4.1.3
Soustrayez de .
Étape 2.5.2.4.1.4
Réécrivez comme .
Étape 2.5.2.4.1.5
Réécrivez comme .
Étape 2.5.2.4.1.6
Réécrivez comme .
Étape 2.5.2.4.2
Multipliez par .
Étape 2.5.2.4.3
Remplacez le par .
Étape 2.5.2.4.4
Réécrivez comme .
Étape 2.5.2.4.5
Factorisez à partir de .
Étape 2.5.2.4.6
Factorisez à partir de .
Étape 2.5.2.4.7
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 2.5.2.5
Simplifiez l’expression pour résoudre la partie du .
Étape 2.5.2.5.1
Simplifiez le numérateur.
Étape 2.5.2.5.1.1
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 2.5.2.5.1.2
Multipliez .
Étape 2.5.2.5.1.2.1
Multipliez par .
Étape 2.5.2.5.1.2.2
Multipliez par .
Étape 2.5.2.5.1.3
Soustrayez de .
Étape 2.5.2.5.1.4
Réécrivez comme .
Étape 2.5.2.5.1.5
Réécrivez comme .
Étape 2.5.2.5.1.6
Réécrivez comme .
Étape 2.5.2.5.2
Multipliez par .
Étape 2.5.2.5.3
Remplacez le par .
Étape 2.5.2.5.4
Réécrivez comme .
Étape 2.5.2.5.5
Factorisez à partir de .
Étape 2.5.2.5.6
Factorisez à partir de .
Étape 2.5.2.5.7
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 2.5.2.6
La réponse finale est la combinaison des deux solutions.
Étape 2.6
La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent vraie.
Étape 3
Le domaine est l’ensemble des valeurs de qui rendent l’expression définie.
Notation d’intervalle :
Notation de constructeur d’ensemble :
Étape 4